题目描述

　　给你一棵\(n\)个点的树，你要把其中\(k\)个点染成黑色，剩下\(n-k\)个点染成白色。要求黑点两两之间的距离加上白点两两之间距离的和最大。问你最大的和是多少。

　　\(n\leq 2000\)

题解

　　我们考虑树形DP。

　　设\(f_{i,j}\)为以\(i\)为根的子树，染了\(j\)个黑点的最大收益。

　　若一条边的一端有\(s_1\)个点，选了\(j_1\)个黑点，另一端有\(s_2\)个点，选了\(j_2\)个黑点，那么这条边的贡献就是

\[ w\times(j_1\times j_2+(s_1-j_1)\times (s_2-j_2)) \]

　　于是我们就可以从\(f_{x,i},f_{v,j}\)转移到\(f_{x,i+j}\)。

　　表面上看是\(O(n^3)\)的，因为要枚举选了几个黑点，实际上是\(O(n^2)\)的。

　　转移可以看成两边各选一个点，这个点\(x\)就是两边的点的lca。因为总共有\(O(n^2)\)个lca，所以就是\(O(n^2)\)的。

代码

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            using namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef pair
            
              pii;typedef pair
             
               pll;void sort(int &a,int &b){ if(a>b) swap(a,b);}void open(const char *s){#ifndef ONLINE_JUDGE char str[100]; sprintf(str,"%s.in",s); freopen(str,"r",stdin); sprintf(str,"%s.out",s); freopen(str,"w",stdout);#endif}int rd(){ int s=0,c; while((c=getchar())<'0'||c>'9'); do { s=s*10+c-'0'; } while((c=getchar())>='0'&&c<='9'); return s;}ll upmin(ll &a,ll b){ if(b
              
               a) { a=b; return 1; } return 0;}struct graph{ int v[5010]; int w[5010]; int t[5010]; int h[2010]; int n; graph() { memset(h,0,sizeof h); n=0; } void add(int x,int y,int z) { n++; v[n]=y; w[n]=z; t[n]=h[x]; h[x]=n; }};graph g;ll f[2010][2010];ll h[2010];int s[2010];int n,k;void dfs(int x,int fa){ s[x]=1; f[x][0]=f[x][1]=0; int i,v,j,l; for(i=g.h[x];i;i=g.t[i]) if(g.v[i]!=fa) { v=g.v[i]; dfs(v,x); memset(h,0xc0,sizeof h); for(j=0;j<=s[x]&&j<=k;j++) for(l=0;l<=s[v]&&j+l<=k;l++) if(n-k-s[v]+l>=0) upmax(h[j+l],f[x][j]+f[v][l]+ll(g.w[i])*(ll(k-l)*l+ll(n-k-s[v]+l)*(s[v]-l))); s[x]+=s[v]; for(j=0;j<=s[x]&&j<=k;j++) f[x][j]=h[j]; }}int main(){ scanf("%d%d",&n,&k); int i,x,y,z; for(i=1;i